数学者のチームは、数学における160年前の百万ドルの質問に答えるために大きな一歩を踏み出しただけでしたか？
多分。乗組員は、数論と呼ばれる分野で他のいくつかの小さな質問を解決しました。そしてそうすることで、彼らは古い道を再び開き、最終的に古い質問への答えにつながる可能性があります：リーマン仮説は正しいですか？
ライマン仮説は、数学の残りの部分に大きな影響を与える基本的な数学的推測です。それは他の多くの数学的アイデアの基礎を形成します-しかし、それが本当であるかどうか誰も知りません。その有効性は、数学で最も有名な未解決の問題の1つになりました。これは、2000年に発表された7つの「ミレニアム問題」の1つであり、それらを解決する人は誰でも100万ドルを勝ち取ることが約束されています。 （問題の1つだけが解決されています。）
このアイデアはどこから来たのですか？
1859年に、ドイツの数学者Bernhard Riemannが、特に厄介な数学の方程式に対する答えを提案しました。彼の仮説は次のようになります。リーマンゼータ関数のすべての非自明なゼロの実数部は1/2です。. これは非常に抽象的な数学ステートメントであり、特定の数学関数にどのような数値を入れてその関数をゼロにすることができるかということです。しかし、それは非常に重要であることが判明しました。最も重要なのは、無限大に向かって数えるときに素数に遭遇する頻度についての質問に関してです。
仮説の詳細については後で説明します。しかし、ここで知っておくべき重要なことは、リーマン仮説が真である場合、それは数学の多くの質問に答えることです。
「多くの場合、数論では、リーマン仮説を仮定すれば、結局何が起こるかは、他のあらゆる種類の結果を証明することができます。」オハイオ州のオバーリン大学の数論家であるLola Thompsonは関与しませんでしたこの最新の研究では、と述べた。
多くの場合、彼女はライブサイエンスに語った、リーマン仮説が真である場合、数論者はまず何かが真であることを証明します。次に、その証明を、より複雑な証明への一種の足がかりとして使用します。これは、リーマン仮説が真であるかどうかにかかわらず、元の結論が真であることを示しています。
彼女は、このトリックが機能するという事実は、リーマン仮説が真実でなければならないことを多くの数学者に納得させます。
しかし、真実は誰も確かに知らないということです。
証明への小さな一歩？
それでは、この小さな数学者チームがどのようにして私たちを解決策に近づけたのでしょうか？
エモリー大学の数論家であり、新しい証明の共著者でもある小野健氏は、「私たちが論文で行ったことは、リーマン仮説と同等の非常に技術的な基準を再検討したことであり…その一部です。この基準の大きな部分を証明しました。」
この場合の「リーマン仮説と同等の基準」とは、リーマン仮説と数学的に同等である別のステートメントを指します。
2つのステートメントがこのように関連している理由は、一見しただけでは明らかではありません。 （この基準は、「ジェンセン多項式の双曲線性」と呼ばれるものと関係があります。）しかし1920年代に、ハンガリーの数学者、ジョージポリャは、この基準が真であれば、リーマン仮説が真であることを証明しました。逆も同様です。これは仮説を証明するために提案された古いルートですが、ほとんど放棄されていました。
小野とその同僚は、5月21日のジャーナルProceedings of the Natural Academy of Sciences（PNAS）で発表された論文で、多くの場合、基準が真であることを証明しました。
しかし、数学では、多くは証明として数えるのに十分ではありません。基準が真であるか偽であるかを彼らが知らないいくつかのケースがまだあります。
「100万個のパワーボールをプレーするようなものだ」と小野氏は語った。 「そして、あなたは最後の20以外のすべての数字を知っています。これらの最後の20の数字の1つでも間違っていると、あなたは負けます。
研究者は、すべてのケースで基準が真であることを示すためにさらに高度な証明を考え出す必要があり、それによってリーマン仮説が証明されます。小野氏はまた、そのような証拠がどれほど離れているかは明らかではない、と述べた。
それで、この論文はどれほど大きな取引ですか？
リーマン仮説に関しては、これがどれほど大きな取引であるかを言うのは難しいです。多くは次に何が起こるかに依存します。
「これはリーマン仮説の多くの同等の定式化の1つにすぎません」とトンプソン氏は述べた。
言い換えれば、この基準のように、リーマン仮説が証明されれば真理であることを証明するアイデアは他にもたくさんあります。
「だから、一方ではこの方向に進んでいるので、これがどれだけ進んでいるかを知るのは本当に難しいです。しかし、この方向がリーマン仮説をもたらさないかもしれない非常に多くの同等の定式化があります。代わりに他の同等の定理は、誰かがそれらの1つを証明できれば、代わりにそうするでしょう」とトンプソンは言った。
証明がこの経路に沿って現れる場合、それはおそらく小野と彼の同僚がリーマン仮説を解決するための重要な基礎となるフレームワークを開発したことを意味します。しかし、それがどこか別のところに現れれば、この論文はそれほど重要ではなかったことが判明するでしょう。
それでも、数学者は感銘を受けています。
「これはリーマン仮説の証明には程遠いが、大きな前進だ」とチームの研究に関わっていなかったプリンストン数論家のエンクリコボンビエリは、添付の5月23日のPNASの記事に書いている。 「この論文が数論の他の数論の分野や数理物理学の基礎研究をさらに刺激することは間違いない。」
（ボンビエリは1974年にリーマン仮説に関連する研究で、数学で最も権威のあるフィールズメダルを受賞しました。）
とにかくリーマン仮説はどういう意味ですか？
私たちはこれに戻ると約束しました。これもリーマンの仮説です。リーマンゼータ関数のすべての非自明なゼロの実数部は1/2です。.
トンプソンと小野がそれを説明した方法に従ってそれを分解してみましょう。
まず、リーマンゼータ関数とは何ですか。
数学では、関数は異なる数学的量の間の関係です。単純なものは次のようになります：y = 2x。
リーマンゼータ関数は、同じ基本原理に従います。それだけがはるかに複雑です。これは次のようになります。
これは無限シーケンスの合計であり、各項（最初の数は1/1 ^ s、1/2 ^ sおよび1/3 ^ s）が前の項に追加されます。これらの楕円は、関数のシリーズがそのように永遠に続くことを意味します。
これで、2番目の質問に答えることができます。リーマンゼータ関数のゼロは何ですか？
これは簡単です。関数の「ゼロ」は、関数をゼロに等しくするためにxに入力できる任意の数値です。
次の質問：それらのゼロの1つの「実数部」とは何ですか？それが1/2に等しいとはどういう意味ですか？
リーマンゼータ関数は、数学者が「複素数」と呼ぶものを含みます。複素数は、a + b * iのようになります。
その方程式では、「a」と「b」は任意の実数を表します。実数は、マイナス3からゼロ、4.9234、パイ、または10億までの何でもかまいません。しかし、別の種類の数があります。虚数です。負の数の平方根をとると、架空の数が出てきます。それらは重要であり、あらゆる種類の数学的な文脈で現れます。
最も単純な虚数は-1の平方根で、「i」と表記されます。複素数は、実数（ "a"）と別の実数（ "b"）のi倍です。複素数の「実数部」は、「a」です。
リーマンゼータ関数のいくつかのゼロ、-10から0の間の負の整数は、ライマン仮説にカウントされません。これらは複素数ではなく実数であるため、「自明な」ゼロと見なされます。他のすべてのゼロは「自明ではない」複素数です。
リーマン仮説は、リーマンゼータ関数がゼロに交差する場合（-10と0の間のゼロを除く）、複素数の実数部は1/2に等しくなければならないことを述べています。
その小さな主張はそれほど重要に聞こえないかもしれません。しかしそうです。そして、私たちはそれを解決するのにほんの少しだけ近づいているかもしれません。
