私の物理感覚は、キャストオフの速度が脱出速度であると教えてくれます。
この最小化は、小惑星システムと放出された物質の合計エネルギー変化の、放出された物質のエネルギーに対する比率でうまく機能する可能性があります。ロケット方程式は助けになります。ロケット方程式は、運動量結果の保存です。
d（mv）/ dt = 0 —>（m –？m）（v +？v）–？mV = 0
ここで、Vは反応質量速度、？vおよび？mは「ロケット」またはこの場合は小惑星の速度および質量損失の変化であり、mおよびvはオブジェクトの初期質量および速度です。 v = 0に設定して、
？v = V（？m / m）
積分された速度はv = V ln（m_i / m_f）です。m_iの場合は初期質量、m_fの場合は最終質量です。質量の変化が小さい場合、
v〜= V（m_i / m_f – 1）
そして最後の小惑星の運動量はp〜= V（m_i – m_f）です。ここでV = u – v_eとします。v_eの場合、エスケープ速度とuはキャストオフしたオブジェクトの速度です。これは、Vが「無限遠」でのキャストオフオブジェクトの速度であることを意味します。
ここで、与えられたキャストオフ運動エネルギーE =（1/2）？mu ^ 2について、小惑星の運動エネルギーK =（1/2）p ^ 2 / m_fを最小化したいとします。無次元比を構築し、
R = p ^ 2 / m_f /（？mu ^ 2 / =（p / u）^ 2 /（？mm_f）=（？m / m_f）（1 – v_e / u）^ 2。
ところで、無次元比で作業することが重要です。したがって、与えられた？mに対してこれを最小化し、uを計算します。だから私たちは最小化します
F（u）=（1 – v_e / u）^ 2、—> dF（u）/ du = -2（1 – v_e / u）* v_e / u ^ 2、
そして、これはv_e = uでゼロです。ロケット方程式の式を考えると、これは少し奇妙に思えますが、以下で説明します。
次に、2次導関数を使用して、これが最大か最小かを判断します。
d ^ 2F（u）/ du ^ 2 = 4（1 – v_e / u）*（v_e / u ^ 2）^ 2 – 2（v_e / u ^ 2）^ 2
これは、u = v_eで-2 <0なので、必要な分です。また、u = v_eは、質量に与えることができる最小の運動エネルギーであることも明らかです。
v〜= V（m_i / m_f – 1）があるのは奇妙に聞こえます。V= u – v_eの場合、u = v_eでゼロになります。ただし、u = v_eの場合、キャストオフオブジェクトが無限大に達するまで、小惑星は移動し続けます。これを行う目的は、小惑星の変位を作成することであり、キャストオフされたオブジェクトが「無限大」に到達すると、小惑星はある程度の変位距離に到達します。
LC
