数学者は、双子の素数予想として知られる、数学における最も有名な未証明のアイデアの1つに対する大きな新しい証拠を明らかにしました。しかし、その証拠を見つけるために彼らが取ったルートは、おそらく双子の素数の予想そのものを証明するのに役立つことはないでしょう。
双子の素数の推測は、素数（1でのみ割り切れる数と1のみ）が数直線にどのようにいつ現れるかについてです。 「ツインプライム」は、そのライン上で互いに2ステップ離れているプライムです。3と5、5と7、29と31、137と139などです。双子の素数の推測では、双子の素数は無限にあり、数直線をいくら下っても、それらに遭遇し続けると述べています。また、無限の数の素数ペアが存在し、それらの間にすべての可能なギャップがあると述べています（4ステップの間隔、8ステップの間隔、200,000ステップの間隔などのプライムペア）。数学者はこれが真実であることをかなり確信しています。確かにそれは本当のようです。そして、それが真実でなければ、それは素数が誰もが思っているほどランダムではないことを意味し、それは一般に数がどのように機能するかについての多くの考えを台無しにするでしょう。しかし、誰もそれを証明することができませんでした。
しかし、彼らは今までにないほど近いかもしれません。プレプリントジャーナルarXivで8月12日に発表された論文では、Quantaが最初に報告したように、2人の数学者が双子の素数推論が真実であることを証明しました-少なくとも一種の代替宇宙において。
これは、数学者が行うことです。途中で小さなアイデアを証明することにより、大きな証明に向けて取り組みます。時には、これらの小さな証明から学んだ教訓が、より大きな証明に役立つ場合があります。
この場合、コロンビア大学の数学者ウィル・サウィンとウィスコンシン大学のマーク・シュースターマンは、「有限体」のオルタナティブユニバースのツインプライム予想のバージョンを証明しました。代わりにループバックします。
あなたはおそらく、時計の表面で毎日有限のフィールドに遭遇します。 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12になり、ループして1に戻ります。その有限体では、3 + 3は依然として6ですが、3 + 11です。 = 2。
有限体には多項式、つまり「4x」や「3x + 17x ^ 2-4」などの式があります。Sawinは、通常の数値と同じようにLive Scienceに語りました。数学者たちは、有限体上の多項式が整数のように振る舞うことを学んだと彼は言った-数直線上の整数。整数について真であるステートメントは、有限体上の多項式についても信頼する傾向があり、逆もまた同様です。そして、素数が対になっているように、多項式も対になっています。たとえば、3x + 17x ^ 2-4の双子は3x + 17x ^ 2-2と3x + 17x ^ 2-6です。 Sawin氏によると、多項式の良い点は、整数とは異なり、グラフにプロットすると幾何学的な形状になることです。たとえば、2x + 1は次のようなグラフを作成します。
そして5x + x ^ 2は次のようなグラフを作成します：
多項式は、個々の素数をグラフ化するときに得られるドットではなく、形状をマッピングするため、ジオメトリを使用して、単純な整数について証明できない多項式について証明することができます。
「私たちは幾何学を使って有限体を理解できることに気づいた最初の人々ではありませんでした」とShustermanはLive Scienceに語った。
他の研究者は、有限体上の特定の種類の多項式に関する双子素数仮説のより小さなバージョンを証明しました。しかし、サウィンとシュースターマンの証拠は、研究者が多くの点で戻ってゼロから始めることを要求した、とサウィンは言った。
「私たちは私たちにトリックを実行することを可能にする観察がありました...それはこれらのすべてのケースに適用できるようにジオメトリをより良くしました」とシュスターマンは言った。
その幾何学的なトリックは彼らの突破口につながったと彼は言った：双子素数予想のこの特別なバージョンはそれらのいくつかだけでなく有限体上のすべての多項式に当てはまることを証明した。
Sawin氏によると、悪いニュースは、そのトリックは幾何学に大きく依存しているため、ツインプライム予想自体を証明するためにそれを使用することはおそらく不可能であろうということです。基礎となる数学はあまりにも異なっています。
それでもシュスターマン氏は、有限体のケースを証明することは山に追加するための大きな新しい証拠であり、誰もが待っている証拠がどこかにある可能性を数学者にからかいます。
彼らはまるで背の高い険しい山の頂上を見たかったのか、代わりに近くの別の山に登りました。彼らは遠くのピークをほぼ見ることができますが、雲に覆われています。そして、2番目の山の頂上に到達するために彼らが取ったルートは、おそらく彼らが本当に興味を持っている山では機能しないでしょう。
シューターマン氏は、双子素数の問題についてSawinと協力し続けることを望んでおり、この証明を作成する際に学んだことが双子素数の推測を証明するために重要であることが常に判明する可能性は常にあると述べた。
