"無限の彼方へ！"
映画「トイ・ストーリー」からバズ・ライトイヤーの有名なキャッチフレーズについて深く考えたことはありますか？おそらく違います。しかし、たぶん、あなたは時々夜空を見上げて、無限大そのものの性質について疑問に思ったことがあります。
無限は奇妙な概念であり、人間の脳はその限られた理解を包み込むのに苦労しています。宇宙は無限かもしれませんが、本当に永遠に続くのでしょうか？または、小数点以下のpiの桁数-実際に無限に実行されますか？円の円周と半径の間の比率について、常により高い精度が得られますか？そして、バズは正しいのでしょうか？無限を超えるものはありますか？
これらの驚異的な憶測に取り組むために、Live Scienceはペンシルベニア大学のフィラデルフィアにある数学者ヘンリートウズナーの協力を得ました。 （注意してください：これはトリッキーになります。）
トウズナー氏によると、インフィニティは奇妙な場所に位置している。ほとんどの人は概念について直感を持っているように感じるが、それについて考えれば考えるほど奇妙になる。
一方、数学者は、無限をそれ自体の概念として考えることはあまりない、と彼は付け加えた。むしろ、彼らはその多くの側面に到達するためにそれについて考えるために異なる方法を採用しています。
たとえば、さまざまなサイズの無限大があります。スコットランドのセントアンドリュース大学の歴史によれば、これは1800年代後半にドイツの数学者ゲオルクカントールによって証明されました。
カンターは、自然数、つまり、1、4、27、56、15、687などの正の数が永遠に続くことを知っていました。それらは無限であり、私たちが物事を数えるために使用するものでもあるため、教育漫画家チャールズフィッシャークーパーの歴史、数学、その他のトピックに関する役立つサイトによると、彼はそれらを「無限に無限」であると定義しました。
数え切れないほどの無限の数のグループには、いくつかの興味深い特性があります。たとえば、偶数（2、4、6など）も無数に無限です。そして、それらの数は技術的には自然数の完全なセットに含まれるものの半分の数ですが、それでも同じ種類の無限です。
つまり、すべての偶数とすべての自然数を2つの列に並べて配置すると、両方の列が無限大になりますが、それらは無限大の同じ「長さ」です。つまり、計算可能な無限大の半分はまだ無限大です。
しかし、カンターの素晴らしい洞察は、数え切れないほど無限である他の数のセットがあったことを認識することでした。実数-自然数だけでなく、分数やpiのような無理数を含む-は、自然数よりも無限大です。 （Cantorがどのようにしてそれを実行し、いくつかの数学的表記を処理できるかを知りたい場合は、メイン大学のこのワークシートをチェックしてください。）
すべての自然数とすべての実数を2列に並べると、実数は自然数の無限大を超えて広がります。クーパーによれば、カンターは後に、おそらく彼の無限大への取り組みとは無関係の理由で夢中になりました。
カウントとは何ですか？
それでは、過去の無限大を数える問題に戻りましょう。 「数学があなたに尋ねさせることは、「それは本当に何を意味するのか？」と、トウズナーは言った。 「過去の無限大を数えるとはどういう意味ですか？」
この問題に対処するために、Towsnerは序数について話しました。セットに何があるかを示す基数（1、2、3など）とは異なり、序数はその位置（1番目、2番目、3番目など）によって定義されます。また、序数は、数学のウェブサイトWolfram MathWorldによると、カンター。
序数にはオメガと呼ばれる概念があり、ギリシャ語の文字ωで示されると、トウズナー氏は語った。記号ωは、他のすべての自然数の後に来るものとして定義されます-または、カンターがそれを呼んだように、最初の超有限序数。
しかし、数字に関することの1つは、いつでも最後に別の数字を追加できることです、とTowsnerは言いました。したがって、ω+ 1、ω+ 2、さらにはω+ωのようなものがあります。 （不思議に思っているかもしれませんが、最終的にはω1と呼ばれる数をヒットします。これは最初の数えられない序数として知られています。）
また、カウントは数を追加するようなものなので、これらの概念により、過去の無限大をカウントできるようになると、トウズナー氏は語った。
これらすべての奇妙さは、数学者が用語を厳密に定義することを主張する理由の一部であると彼は付け加えた。すべてが整然としている場合を除き、通常の人間の直感を数学的に証明できるものから切り離すことは困難です。
「数学はあなたに言っている、 『深く内省して、何が重要か？』
私たちがただの人間である場合、これらのアイデアは完全に計算するのは難しいかもしれません。働く数学者は、日々の研究でこの面白いビジネスのすべてをどのように正確に扱っていますか？
「その多くは練習だ」とタウズナーは言った。 「あなたは露出で新しい直感を開発し、直感が失敗したとき、「私たちはこの正確な段階的な厳密な証拠について話している」と言うことができます。したがって、この証明が驚くべきものである場合でも、それが正しいことを確認してから、それに関する新しい直観を開発する方法を学ぶことができます。」
